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Polinomio de taylor
El polinomio de Taylor es una expresión algebraica que constituye la suma de n veces de derivadas evaluadas en un punto concreto.
El polinomio de Taylor se utiliza para facilitar operaciones con funciones. Se utiliza en el sector financiero y en especial el bursátil, ya que el valor de los precios no es lineal ya que depende de muchas variables, como por ejemplo los tipos de interés, el riesgo, duración de la inversión, etc.
La fórmula matemática se resume de la siguiente forma:
f(x)= ∑ni=0(f(n)(X0)n!∗ (X−X0)n)fx= ∑i=0nf(n)(X0)n!∗ X−X0n
Veamos a continuación un ejemplo sobre el polinomio de Taylor:
f(x) = 5x3 + 3X2 + 12x
Primero calculamos las derivadas:
F (1) = 5(1)3 + 3(1)2 + 12(1) = 5+3+12= 20
f’ (1) = 15x2 + 6X + 12 = 15 + 6 + 12 = 33
f’’ (1) = 30X + 6 = 30 + 6 = 36
Después sustituimos el valor de X por un número a nuestra elección, por ejemplo, x=1:
f(x) = f(1) + f ’(1) * (x-1) +
f '' (1)2!f ′′ (1)2!
(x-1)2 = 20 + 33 * (x – 1) +
362!362!
(x-1)2 = 20 + 33x – 33 + 18(x-1)2 =20 +33x -33 + 18x2 + 18 – 36x= 18x2 – 3x + 5
El polinomio que obtenemos es 18X2 – 3X + 5
Los resultados que obtenemos del polinomio de Taylor al sustituir X0 por otros valores, serán muy próximos al resultado que obtendríamos de la función original.
Ejemplo
X=1
Polinomio de Taylor: f(1)= 18(1)2 - 3(1) + 5 = 18 – 3 + 5 = 20
Original: 5(1)3 + 3(1)2 + 12(1) = 5 + 3 + 12 = 20
Los valores coinciden al completo.
X=2
Polinomio de Taylor: f(2)= 18(2)2 - 3(2) + 5 = 72 – 6 + 5 = 71
Original: 5(2)3 + 3(2)2 + 12(2) = 40 + 12 + 24 =76
La función deja de ser igual, ¿Por qué? Porque los valores que debemos dar a X deben ser próximos a X=1 para que sus resultados sean próximos ya que hemos creado el polinomio según el punto X0=1. La función será útil con valores como X= 1,05 X=1,1 X=1,15 etc.